Énoncé : Calculer (\pi) avec la méthode de Leibniz

L'objectif de cet exercice est d'écrire un programme en Python pour calculer une approximation de (\pi) en utilisant la méthode de Leibniz. Cette méthode est plus simple que celle de Ramanujan et constitue une excellente introduction à l'utilisation des séries infinies en programmation.

Contexte mathématique :

La méthode de Leibniz repose sur la série suivante :

[
\pi = 4 \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k + 1}
]

Chaque terme de cette série ajoute ou soustrait une fraction, et la somme converge lentement vers (\pi). Bien qu'elle soit moins rapide que la méthode de Ramanujan, elle est facile à comprendre et à coder.

Travail à réaliser :

1. Compréhension de la formule :

   • Identifiez les éléments de la série :
     • (k) : le terme d'itération (commence à 0 et augmente).
     • ((-1)^k) : l'alternance des signes (+ et -).
     • (2k + 1) : le dénominateur, qui augmente à chaque itération.
   • Calculez chaque terme séparément, puis additionnez-les.

2. Implémentation en Python :

   • Écrivez un programme qui calcule une approximation de (\pi) en utilisant cette formule.
   • Votre programme doit :
     • Demander à l'utilisateur le nombre de termes (n) à utiliser.
     • Calculer la somme des (n) premiers termes de la série.
     • Afficher l'approximation obtenue et la comparer avec la valeur réelle de (\pi) fournie par Python via math.pi.

3. Étapes suggérées :

   • Implémentez une fonction qui calcule un terme de la série.
   • Utilisez une boucle pour calculer la somme des (n) premiers termes.
   • Affichez le résultat final.

Exemple d’exécution :

Combien de termes voulez-vous utiliser pour calculer pi ? 10
Approximation de pi avec 10 termes : 3.0418396189294032
Valeur réelle de pi : 3.141592653589793

Bonus (facultatif) :

1. Amélioration de la précision :
   • Ajoutez la gestion des décimales avec la bibliothèque decimal.
2. Visualisation :
   • Tracez une courbe montrant comment l'approximation de (\pi) évolue au fil des itérations.
3. Comparaison :
   • Affichez l’erreur absolue ((|\pi_{\text{approximé}} - \pi_{\text{réel}}|)) pour montrer la lenteur de la convergence.

Objectifs pédagogiques :

• Comprendre une méthode simple mais fondamentale pour calculer (\pi).
• Travailler sur les notions de séries infinies et de précision.
• Prendre en main les boucles et fonctions en Python.

Une fois cet exercice terminé, vous pourrez passer à la méthode de Ramanujan, plus complexe mais beaucoup plus rapide pour calculer (\pi).

À vos claviers et amusez-vous avec les mathématiques ! 🎯